はしか予防接種は生ワクチンなので、接種後は体内でウイルスが増えます。
約20％程度の割合ですが、はしかの予防接種後7～10日頃に熱を出します。実際には37度後半程度の発熱で加減も良いことが多く、まれに38度以上の発熱をおこすこともあります。
発疹が出ることもありますが2～3日でおさまります。

発疹が出ても他人に感染することはありませんので、この点は心配しなくても大丈夫です。熱があっても本人の具合が良さそうなら入浴も構いません。どうしても熱が長引くとか、具合が悪そう等、心配な時には予防接種を受けた医師に相談しましょう。

まれにけいれんや脳炎にかかることがあるようですが、ごくまれです。
予防接種で副反応を起こす人は、もし自然感染していれば高熱が続き入院が必要になるくらい悪くなります。それを思えば、予防接種で軽い副反応を選ぶ方が良いのではないでしょうか？